Stage – Utilisation de la méthode des éléments spectraux dans un cadre quantique pour la résolution d’équations aux dérivées partielles de type Hubbard fortement corrélées

Durée du stage : 6 mois
Date de démarrage envisagée : fevrier 2027
Localisation du poste : Palaiseau (91)
Gratification : 1200 € net mensuel
Référence de l’offre à mentionner dans l’objet dans votre e-mail de candidature : STAGE-2027-02-ICQ

Contexte du stage

Au sein de l’Institut de Recherche Technologique SystemX, situé au cœur du campus scientifique d’excellence mondiale de Paris-Saclay, vous prendrez une part active au développement d’un centre de recherche technologique de niveau international dans le domaine de l’ingénierie numérique des systèmes. Adossé aux meilleurs organismes de recherche français du domaine et constitué par des équipes mixtes d’industriels et d’académiques, ce centre a pour mission de générer de nouvelles connaissances et solutions technologiques en s’appuyant sur les percées de l’ingénierie numérique et de diffuser ses compétences dans tous les secteurs économiques. Vous serez encadré par un ingénieur-chercheur SystemX du domaine Ingénierie système et simulation. Vous travaillerez au sein du projet SystemX Ingénierie du Calcul Quantique (ICQ) en collaboration avec Laboratoire du centre de physique théorique (CPHT), Ecole Polytechnique et Laboratoire aux Méthodes Formelles (LMF), ENS Paris Saclay.

Le poste est basé à l’IRT SystemX – Palaiseau.

Présentation du sujet

À travers plusieurs projets menés depuis 2023, nous nous intéressons à la résolution d’équations aux dérivées partielles par des approches hybrides classique-quantique, dans lesquelles les composantes les plus coûteuses du calcul sont transférées vers un traitement quantique lorsqu’elles sont compatibles avec les architectures et algorithmes disponibles. Nos travaux portent notamment sur le développement de techniques efficaces d’encodage des matrices issues des discrétisations numériques, en particulier par block encoding, ainsi que sur l’encodage de vecteurs creux. Nous cherchons à construire une chaîne de calcul quantique complète, de bout en bout, allant de la discrétisation du problème jusqu’à l’extraction des observables ou quantités physiques d’intérêt. Nous développons également en interne des méthodes dédiées à la simulation hamiltonienne, à l’optimisation du block encoding, à la réduction des facteurs de sous-normalisation et à la block-diagonalisation, afin d’encoder plus efficacement les opérateurs issus des méthodes numériques et de limiter les coûts en ressources quantiques. Ces approches sont combinées avec des algorithmes quantiques de l’état de l’art ainsi qu’avec des méthodes développées au sein de nos travaux, dans l’objectif de traiter des EDP de très haute dimension. L’ambition est d’identifier les régimes dans lesquels un avantage quantique peut être démontré, mais également de caractériser précisément la frontière de performance au-delà de laquelle les méthodes classiques deviennent insuffisantes ou difficilement scalables.

Les travaux se déclinent en deux volets :

• Premier volet. Méthode numérique. L’objectif est d’adapter la méthode classique des éléments spectraux à la résolution d’équations de type Hubbard dans des régimes fortement corrélés, en exploitant au mieux les propriétés et la structure des opérateurs issus de la discrétisation.
• Deuxième volet. Calcul quantique. Le stage vise également à mettre en œuvre, adapter et, si nécessaire, développer des algorithmes quantiques compatibles avec la méthode des éléments spectraux, notamment pour l’encodage efficace des opérateurs et leur simulation.

Missions

• Réaliser un état de l’art des algorithmes quantiques et des méthodes numériques dédiées à la résolution des équations aux dérivées partielles, avec un intérêt particulier pour la méthode des éléments spectraux et son intégration dans des approches de calcul quantique ;
• Étudier les propriétés mathématiques et physiques de l’équation linéaire de type Hubbard dans le régime fortement corrélé, ainsi que les difficultés numériques associées à sa résolution ;
• Appliquer une discrétisation spatiale par éléments spectraux afin d’exploiter la structure interne des matrices obtenues et de développer des stratégies efficaces de block encoding adaptées au calcul quantique ;
• Mettre en œuvre, adapter et, si nécessaire, développer les techniques internes de simulation hamiltonienne, notamment celles liées au block encoding, à la réduction de la sous-normalisation et à la block-diagonalisation des opérateurs ;
• Exploiter et comparer les algorithmes quantiques ou classiques de l’état de l’art avec les méthodes développées en interne, en évaluant leur complexité, leur précision et leur coût en ressources quantiques ;
• Réaliser des simulations et des expérimentations numériques permettant de valider les méthodes proposées, d’illustrer leurs performances et d’identifier les régimes susceptibles de présenter un avantage quantique ;
• Analyser les résultats obtenus et les valoriser sous la forme d’un rapport scientifique et, selon la maturité des travaux, d’une publication dans une revue ou une conférence spécialisée.

Références bibliographiques

• Patera, A. T. (1984). A spectral element method for fluid dynamics: laminar flow in a channel expansion. Journal of computational Physics, 54(3), 468-488.
• Shayegan, A. H. S. (2025). Design parallel and sequential quantum algorithms via spectral element method on distributed quantum architectures. Scientific Reports, 15(1), 44859.
• Kan, A., & Symons, B. C. (2025). Resource-optimized fault-tolerant simulation of the Fermi-Hubbard model and high-temperature superconductor models. npj Quantum Information, 11(1), 138.
• Ty, S., Vilmart, R., TahmasebiMoradi, A., & Mang, C. (2024). Double-Logarithmic Depth Block-Encodings of Simple Finite Difference Method’s Matrices. arXiv preprint arXiv:2410.05241.
• Vilmart, R., Ty, S., & Mang, C. (2025). Resource-Efficient Synthesis of Sparse Quantum States. arXiv preprint arXiv:2508.05386.

Profil et compétences

De formation : BAC+5 en fin de cycle d’école d’ingénieur ou Master 2, dans les domaines des mathématiques appliquées, du calcul quantique, et de la physique.

Compétences souhaitées 

• Méthode numérique ;
• Méthode d’éléments spectraux ;
• Calcul quantique ;
• Physiques ;
• Programmation Python avancée ;
• Programmation dans le simulateur quantique

Aptitudes personnelles 

• Doté de capacités d’analyse, d’une forte autonomie et d’un esprit d’initiative ;
• Capacité à travailler en mode projet : rendre compte de l’avancement des travaux et communiquer les résultats ;
• Aptitude à communiquer aussi bien à l’oral qu’à l’écrit, en français et/ou en anglais ;
• Travail en mode collaboratif

Merci de joindre CV, lettre de motivation, relevé de notes et autres documents utiles comme une lettre de recommandations.